数学

証明という名の国語

個別指導塾の学習空間 山梨エリア 甲府西教室の河手です!

今回は中学2年生でこれから本格的に学習する証明問題について書きます。

証明問題と聞いて、計算や関数は得意だけれど…と苦手意識を覚える人はそれなりの数いると思います。

また証明は受験でも配点が高く確実に出題される分野です。

今回はその証明についてコツを書きます。

まず、結論から。

証明問題を解くカギはズバリ問題文の読み方にあります。

①最終目的 ②シナリオ ③理屈

たとえ話を使って説明します。今、A君(今回の主役)がいたとします。

その他の登場人物はB君、C君、D君がいます。

BとCとAは友達です。そしてB、C、Dの三人は友達です。

つまり4人の関係においてA君とD君はつながりのない他人という設定です。

ちなみにこのように最初から与えられている条件を仮定と呼びます。

この状況でA君がD君よりも足が速いことを証明したい場合どうしますか?

 

勿論、一番の証明は直接対決をして勝つことです。しかし、A君とD君はつながりがないので、いきなり競争しようはおかしいです。(おかしいと考えるのが数学の世界です。)

ここで仮定をもう二つ加えます。

A君は友達のB君、C君とは競争したことがあったとします。

それでB君はA君よりも足が速い。そしてC君はA君よりも足が遅いとします。

さてこの状況で、A君は自分がD君より足が速いことを証明する為にどうするべきでしょうか。

一歩踏み込んで、B君とC君のどちらにどう頼むでしょうか。

頼み方は、「お前の友達のD君と競争してみてくれないか。」ですね。

さて、どちらに頼むにしても頼み方は同じですが、改めてどちらでしょうか。

仮にB君にお願いして競争してもらった場合、考えられる結果は以下の3つです。

B君がD君に勝つ。 B君とD君が引き分ける。 B君がD君に負ける。

当然C君に頼んだ場合も同様です。

ひとつずつ検証していきましょう。

B君がD君に勝ったとしてA君の目標は達成させるでしょうか?B君はA君よりも足の速い人です。自分より足の速い人が勝っても自分がその相手よりも速いとは限りません。さらに言えば引き分けとB君の負けは、A君がD君よりも足が遅いことを証明することになります。

ですから自分よりも足の遅いC君に頼みます。自分よりも足の遅い人がD君に勝った、引き分けた。これはA君がD君よりも速いことを間接的に証明しています。仮にC君がD君に負けたとしても、少なくともA君の方がD君よりも遅いと決まったわけではありません。可能性は残ります。

証明を考える際、まず最終的に何を証明することを要求されているのか。これを読み取る。

次にその証明を達成するためにどんなシナリオ(ストーリー)であれが良いか。ちなみに最終目的が含まれている図形の合同を証明する場合が比較的多いです。

そして、証明していく時に理屈(根拠)を明記していく。

結局、求められているのは数学の力というよりも、文をしっかり読んで、文をルールに従って書くという国語力なのです。

証明問題をやる際はここで紹介した3点を意識して国語だと思って問題演習に臨んで下さい。                                                        ではまた☆

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「数の世界」

個別指導の学習空間 北海道エリア 札幌富丘教室の花岡です。

今日は勉強のやり方というより考え方について書いてみたいと思います。

ではまずちょっとした問題から。

○に当てはまる数を考える問題です。
(1)○+2=6
このとき、○=4ですが、
これは頭の中で6-2という計算をして求めているはずです。

じゃあ次に、
(2)○×6=2
これは、2÷6=1/3という計算で求められます。
この問題は分数という数を知らないと解けません。つまり小学校低学年の生徒には求められない問題ということになります。

続いて、
(3)○+6=2
この答えは、○=-4です。
この問題は正負の数を知らないと解けません。正負の数は中学校1年生で学習しますね。

では最後に、
(4)○=6
この答えは、±√6という数です。
この問題は平方根という数について勉強しないと解けません。これは中学校3年生で勉強します。

このように「数」というのはどんどん広がってゆきます。
高校生になると、「2乗すると-1になる数」といった数も登場します。
???ですよね。そりゃそうです。実際にこんな数は存在しません。
(余談ですが、この数は「虚数単位」と呼ばれています。名前もおかしいですよね。)

ただここで考えて欲しいのは、分数も負の数も平方根も、数学を考えていく上で必要となって考え出された数なのです。(細かいことは置いといて。)

簡単な例で言うと、1と2の間にある数を表すために小数や分数が生まれたということです。

数学(算数)が苦手な人ほど、数学の問題1つ1つを切り離して考えてしまう傾向にあるようですが、数学の世界は1つ1つ積み重なっていて、新しい問題は必ず今まで習った問題のちょっとした応用になっているのです。

なので、もしもつまずいたときは基礎に立ち返って復習してみましょう。

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証明問題の勉強法

個別指導塾の学習空間 東京多摩エリア 青梅東・羽村教室の佐藤です。

皆さんこんにちは。今回は数学の証明問題の勉強法について書かせて頂きたいと思います。
まず、「証明問題」と聞いて「嫌いだなぁ~」と思った方が多いのではないでしょうか。現に私も中学生の時は苦手で、数学なのにどうして計算ではなく文の組み立てなの?とぶつぶつ言っておりました(笑)。しかし、当時私が住んでいた県の入試では確実に問われる分野であり、苦手だからといって避けて通ることができない分野であった為、何とかしなくてはいけない状況でした。では、どのように克服したか。そのポイントを以下に3つ書きたいと思います。

①:「合同条件や相似条件から逆算して考え、必ず解けるように作られていると自分に言い聞かせる

逆算して考え??なんか難しそう??と思ったあなた!合同条件は5つ、相似条件は3つの計8つしかありません!まずはその条件を
しっかりと頭に叩き込みましょう!入学試験になる問題なので当然ですが当てはまる条件が存在し、必ず証明できるように作ら
れています(ここ大事です!)
。この中でも経験上特に合同条件なら「2辺とその間の角、1辺とその両端の角、直角三角形の斜辺
と他の1辺」 が、相似条件なら「2組の角がそれぞれ等しい」が8割以上を占めているように感じます。多くの問題では最低1つくらいは
条件設定の段階で角や辺が等しいと書いてあります。そこで、条件の中からどれか1つに当たりをつけ、この条件に当てはめる為には
あとはどこが等しくならなければいけないのかを考えていき、錯角同位角対頂角二等辺三角形の性質外角の性質共通
円周角などを考えていくと・・・あら不思議!あっという間に条件がすべて揃ってしまったぁ~!残念だぁ~(ST:藤原達也)!となり
ます!笑

②:「トレぺや教科書、ワークに載っている証明問題から10題だけを選び、解答を見ながらでも構わないので
2週間以内にそれぞれ最低10回以上をノートに書いて証明の流れを短期間で体に叩き込む!

この過程が一番大切です!スポーツと一緒で、ルールを頭で理解していても、実際にやるとなるとなかなか出来ないものです。だか
実際に手を動かして書く反復練習が必要なのです!(最後の3回程度は解答を見ないで挑戦してみる!) 実際に書くこ
とによって脳も刺激され、証明特有の流れを自然と覚えられるようになり、さらにノートにしっかりとまとめて書くことで、練習した達成感と
証明問題への自信も培われます!

③:「過去問や私立の問題など、少し難しい問題に挑戦してみる

上記の①、②を確実に実践した子は、証明問題への基礎力は確実に身についていると思いますので、ここからは少しレベルの高い問
題にじっくりと時間をかけて挑戦することをお薦めします!ゲームと一緒で、最初はレベルが低く弱い敵にも負けまくってつまら
ないですが、その過程を経てある程度レベルが上がってから今まで苦戦していた敵が簡単に倒せるようになると一段と楽しくなるもので
す!この過程を経た後であれば、教科書レベルの問題であれば初めて見る問題でも確実に解くことができるようになっていることでしょ
う!

今回は三角形の証明の練習法を中心に書きましたが、平行四辺形の証明についてもやり方は全く同じです!証明問題は他の問題と違ってたとえ全て解けなくても途中まで書いてあれば部分点を貰えるお得な問題なので、どうしようか悩んでいる子は今日からでも通っている学習空間の先生にどの問題を練習すればよいかを聞くなどまずは自分から動いて行動してみましょう!ートと鉛筆と情熱さえあれば誰にでも、そしてすぐにでも証明問題を得意分野にすることが可能です!さあ迷っている暇はありません!我々学習空間の講師とともに今日からその第一歩を踏み出しましょう!!

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日頃の数学勉強方法

個別指導塾の学習空間 神奈川エリア 大井松田教室・平塚中原教室の青山です。

今回は日ごろの数学の勉強で気を付けてほしいこと、というテーマで書かせていただきます。生徒からよく、「数学は計算ミスが多くて。。。」とか、「時間が足りなくなって全部解けなかった」といった声をよく聞きます。
確かに数学のテストというと、他の教科に比べて問題数が多かったり、応用問題があるとそれに時間をとられたりして、上手にペース配分ができないとい生徒が多いです。
また、単純な計算問題も、暗記して解いているわけではないので、やり方をしっかりと覚えていても、どうしてもちょっとしたミスが出てしまいます。
100%、その小さなミスをカバーするのはなかなか難しいことだとは思いますが、日ごろの勉強法を少し改善することで、そのミスを限りなくゼロに近づけていくことはできると思います。

① まずは速さではなく、正確さ
実際に私が普段生徒に伝えていることですが、計算問題は素早く解くことより、正確に解くことのほうが大切だと思います。素早く解くことも当然大切です。計算問題の時間を短くできれば、応用問題に割く時間が増えるからです。
しかし、それで計算ミスをしてしまっては元も子もありませんね。なので、普段の勉強でもまず速さよりも正確さを重視してほしいです。
塾で見ている生徒も、数学の計算問題を、殴り書きするかのようなペースで解いている生徒を見かけたりします。計算問題、すごく「雑」に解いている生徒が多いです。でも、日々の学習では、絶対に「正確さ」を重視してほしいです。一通り問題を解いたら、もう一度、どんな紙でもいいので計算を書いてみる、これは数学の「見直し」です。
ただ目で追う見直しは、やっている生徒も多いですが、計算問題に関しては、絶対にもう一度計算をして見直す癖をつけましょう。自分がつまずきやすいポイントもわかるので、弱点を発見するいい機会にもなると思います。

② 時間を意識
計算問題、速さよりも正確さとはいったものの、現実問題、テストでは時間制限があります。普段問題を解いているときは、あまり時間というものを意識しません。特に数学という教科は難しい問題を解いているとあっという間に時間が経ってしまいます。数学を勉強していて、時間こんなに経ってしまった!!というような経験はありませんか??それと現象がテストでも起こり、結果、テストのときに時間切れ、となってしまうパターンも少なくありません。
なので、日ごろ学習をするときに、時間を計るようにしましょう。今は携帯電話でも時間をはかることができます。例えば、ワークを見開き1ページ進める、その時にどれだけの時間が経っているのかを測ってみましょう。これが第一段階です。自分が問題を解くのにかかっている時間を把握することが大切です。ワークの端のほうに何分かかったか書いておくといいですね!
次に、もう一度同じページを解くときに、前回の時間を少しずつ短縮することを心掛けて問題を解きましょう!1度解いている問題なので時間は10分以上短縮できるといいかと思います。
まずは自分の問題を解くのにかかる時間を知ること、そしてそれを少しずつ短くしていくこと、これがスピードUPにつながってきます。

定期テストにおける見直し、時間配分、これはテストのときだけ意識しても、効果は薄いです。日ごろからどれだけ丁寧に見直しができているか、時間を気にして解いているかがとても大切です。スポーツでも、日ごろ練習していないことを本番でやれって言われたら、できないですよね?なので、テスト期間以外の学習でもやっていく必要があります。日々の勉強でコツコツとやっていくと、じんわり効果が出てくるはずです♪
ただし、この②で紹介したことは①が実践できてからやることを、個人的にはオススメします。まずは速さより正確さ!ここが一番大切です!
数学だけに限らず、しっかりとした見直しは、点数UPにつながること間違いなしです!ぜひ心掛けてみてください!

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数学はイメージ

個別指導の学習空間 埼玉エリア 坂戸西・北本教室の清水です。

最近、高校の生徒とこんな話をしました

「先生、数学が三角比にはいってから覚える公式が多くて大変です。」
「確かに!!最初は大変だよね。」
「sin、cos、tanも30°、45°、60°・・・全部覚えるの大変ですよ~。」
「えっ?もしかして全部覚えようとしてるの?」
「えっ??覚えなくていいんですか??」
「“覚える”のではなく“イメージ”するんですよ~」

私は数学を教えるとき“イメージ”というワードをよく使います。
中学生なら一次関数、二次関数、合同証明・・・
高校生なら二次関数、二次不等式、三角比・・・

話を戻して、そんな高校生に
「角30°の直角三角形を書いてごらん。きれいに書かなくていいから。」
「書けましたー。sin30°は 高さ / 斜辺で、cos30°は・・・」
「ねっ。何時間もかけて“覚える”勉強をしていたことを“イメージ”して図を書いてみるだけで一瞬で確認もできるし、間違えもなくなるでしょ?!」
「確かにっ!」

二次不等式の問題でも同じような話を生徒としました。
「二次不等式>0 、二次不等式<0 の意味がわからないです。」
「判別式の意味はわかる?実際にグラフ書いたりしてる。」
「判別式はわかります!グラフは書いていないです。」
「よしっ!実際に書いてイメージしてみよう!!」

この後生徒には、次のような話をしました。
1.まずは問題から情報を集めます。
グラフは上に凸?下に凸?判別式の値は?xの定義域は?・・・
2.情報を集めたら、イメージした関数を実際に書いていきます。
グラフとx軸の位置関係を判別式で確認。
二次不等式>0 ならx軸より上に、
二次不等式<0 ならx軸より下に斜線を書く。

これだけです。
実際に、これだけのアドバイスで本人もびっくりするほど出来るようになっていました。

私が皆さんに実践してほしいのは
関数、三角比の問題は特に、『図を書く癖をつける』ことです。
先ほどの話しにもあるように、私は今でも三角比や関数を求めるときは実際に図形を描いて確認しています。高校数学だけでなく、中学生の内容でも同じです。
一次関数ならx-y座標に斜めの棒を一本書くだけで、だいぶ問題の意図が読み取りやすくなります。

問題から条件を読み取り、頭で“イメージ”した図形、グラフを実際に書いていく。
定規など使わず、フリーハンドで十分です。
思考の幅が広がるので是非、試してみてください。

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結果よりも過程が大事

個別指導の学習空間 愛知エリア 豊田朝日・岡崎東教室の木村です。

「結果よりも過程が大事」よく聞く言葉ですよね。
中にはそんなのきれいごとだと思う人もいると思います。
確かにそうでしょう、過程よりも結果が大事な場面はありますよね。
しかし、こと数学に関してはこれこそが真理なのです。

数学の文章問題を解く過程をしっかりと理解できていれば、答え合わせをする前に正解しているか間違っているのかがわかるようになってきます。

なんとなく式を組み立てて、答えが合っていたことに喜んでいる生徒をたまに見かけますが、正解したことに安心してそのままにしていては大変危険です!テストでは間違えてしまう可能性が非常に高いです。

私の学生時代を振り返ると、横着者だった私は友達に答えだけを教えてもらって、テストで全く同じ問題に答えられないという苦い経験がありました。その時の反省を活かし、理屈から考えることを意識した結果、逆に数学が得意科目となりました。よって私は指導中になぜその式になるのかを生徒によく聞いています。

この時にしっかりと理由を答えられない場合、改めてなぜその式になるのかを説明しています。

みなさんも一人で勉強する時には、式を作る時になぜその式になるのかを論理的に説明できるかどうか自分の中で一度考えてみてください。自分の意外な穴が見えてくるかもしれませんよ!?ご参考にされば幸いです。
それでは☆

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数学の取り組み

個別指導の学習空間 静岡中部エリア 藤枝教室の村田です。
今回は数学について話をしたいと思います。
皆さんの中には数学の文章題・応用問題が苦手な生徒でどうも苦手で点数がとれないなって人いませんか?かなり多くの人が苦手だと思います。今日は数学の問題への取り組み方について書いていきたいと思います。数学の文章題。応用が苦手な人の特徴を以下にあげたいと思います。
①基本計算ができていない
②文章を絵にかいたりしていない。
③何を求めるのかわからない(見ていない)
④式をつくるための文章に印をしていない、線を引いていない。
こんなところでしょうか。中学の数学も高校の数学にもいえることですが、

①の基本計算ができていない人、非常に多いです!文章題自体は実はあまり難しくありません。しかし難しく思えてまさに魔物みたいに見えてしまうのはこの部分ができていないからなんです。たとえば速さの問題で式はなんとか作れるんだけど基本計算ができないせいで結局最後の答えまでたどり着けないといった感じです。つまり計算ができないために文章題を全体として難しくしているのです。二重の苦しみは味わいたくありませんよね!

②についてですが数学のできない生徒はとにかく簡単でも絵を書いたり文章を図にしたりということをやりません。たとえば先ほどの速さの問題でAからBまでは徒歩で、BからCまでは自転車で走ったなんて問題があったとしたらどうでしょうか。道を書いて棒人間をかいて、自転車の絵をかいて・・・話は整理できるはずです!特に絵・図を書くのは高校数学において大切になってきます。(というか書かないとまったくわかりません)。

③何をもとめるのかというのを見ていないことも多いです、そしてそれをx(エックスですよ)と置いたりする習慣をつけましょう!これを行うことで問題を解く道に立つことができます。まずはxと置きましょう!そして答案に「~をxとする」と必ず書きましょう!(学校によってはこれを書かないと減点する先生もいます)

④について、これは解答・解説をみたときの取り組みですがただ式を書いて答えを書くのは非常に時間を有意義に使えてないと自分は考えています。文章題なのでその文章の何かが式の元になっているはずです。それを追求しましょう!

これは自分の経験談ですが中学1年生の頃は数学が得意ではありませんでした、しかしこの①~④をすこしづつ実践したところ一番得意な科目になっていました。数学アレルギーのみなさん、気楽な気持ちでやれることを完璧にしていきましょう!必ずや数学が得意になりますよ!がんばっていきましょう~

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数量の表し方対策

個別指導塾の学習空間 静岡エリア 三島南&北教室の齋藤です。

これから中学1年生が苦戦するであろう「数量の表し方」についてお話します。
たとえばこんな問題があるとします。
2000円で1コa円の品物を2コ、1コb円の品物を3コ買った時のおつり
すぐに文字式で表すことができればベストですが、もしも躓いてしまった場合、まずは実際に数字を代入し、どのような計算をしたかを考えてみれば良いです。
1000円で1コ100円の品物を2コ、1コ200円の品物を3コ買った時のおつり
aを100、bを200に置き換えてみました。
そうするとおつりは
1000-(100×2)-(200×3)=200だという式がすぐに出てきます。
それぞれ100、200をa、bを戻して
1000-(a×2)-(b×3)=1000-2a-3b(円)という感じに答えを出せました。

ちょっと簡単だったかな?
じゃあこれ。
3回のテストの点数がa点、b点、60点の時の3回の平均
この場合、合計点数を3回テストがあったので3で割れば平均が出せます。
aを80、bを70として置き換えた場合、
(80+70+60)÷3で平均が出せます。
戻すと
(a+b+60)÷3=(a+b+60)/3(点)と答えが出せます。

あとひとつ。
xメートルのテープからyセンチメートルのテープを5本切り取った時の残り
まず注意しないといけないのは単位。
メートルとセンチメートルなので単位を合わせます。
この場合センチメートルに合わせた方が楽ではないかと。
1メートル=100センチメートルなので、xメートル=100xセンチメートルになります。
その後で置き換え。
2メートルのテープから30センチメートルのテープを5本切り取った時の残り
200-30×5=50
戻すと
100x-5y(cm)

文字が入った場合も考え方は数字の時と同じです。
迷った時は数字に置き換えて考えてみてはいかがでしょうか。

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受験数学の演習法

個別指導塾の学習空間 東京多摩エリア 羽村・青梅東教室の後藤です。

1月も下旬になり高校生はセンター試験が終わり、小・中学生も受験がスタートする時期になり皆さん最後の追い込みに入っているのではと思います。

そんなこの時期に受験数学の解き方を皆さんにお話しさせて頂きたいと思います。

受験問題の数学は学校の問題よりも難しく全然解けないという方が多くいるかもしれませんが、初めの内はできなくても構いません。そのかわりにしっかりと解説を見て、書かれていることを丸写しし、解き方を覚えることから始めましょう。
また、自分が受ける学校の出題傾向をしっかりと把握し、よく出る単元のチェックをしていくことも重要です。

この二つがしっかり出来ているけどなかなか点が上がらないという方には、計算問題・基本問題を落としてしまっているのではないでしょうか?
もしそうで計算問題のミスが多いという方は、普段の学習に入る前に10問でもいいので計算題を全問正解するように時間がかかってでも正確に解くことにチャレンジしてみましょう。
基本問題を落としてしまうという方は、関数・図形の最初の問題に多いと思うので、関数ならば変域・傾き・座標といった問題、図形ならば角度の問題を他の問題よりも多く解き、自分がいつも間違えてしまう部分にチェックして見直しを他の箇所よりも多くするようにしていきましょう。

また数学が得意という方には、関数・図形の問題でいろいろな解き方(関数の問で図形の考え、図形の問で関数の考え)を実践して解き方の幅を広げてもらえればと思います。

ここまでいくつか例を挙げてお話しさせていただきましたが、少しでも参考にして役立ててもらえればと思います。
本番まで諦めずに頑張ってください!

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計算ミスをなくすには?

個別指導塾の学習空間 山梨エリア 甲府北・都留教室の渡井です。

今回は、数学の計算ミスについてお話しします。

公式や解き方は覚えているはずなのに、計算ミスがなかなか減らない。
解説を見れば、一応は間違いが分かるのだが、また同じ間違いをしてしまう。

このように、計算ミスが原因で、数学の点数が伸びていかない生徒さんを見かけることがあります。
計算ミスをなくすにはどうすればいいでしょうか。
以下に、やり方の一方法を示しておきます。

1、計算の途中式を書く
計算ミスには、人によって癖があります。符号(+−)、分数、四則計算の順番など、同じポイントで間違っている場合が多いです。
まずそれを発見するために、必ず計算の途中式を書いてください。
途中式があると、見直しがしやすいですし、自分がどこでミスしたか分かりやすいです。
そうして自分がミスした部分を見返してみると、同じポイントでの間違いが多いことに気がつくと思います。

2、解き直す
自分がミスするポイントをチェックしたら、間違えた問題はすべて、たとえ単純な問題でも、解き直してください。計算ミスは、癖になっているので、解説を見て納得しただけでは、同じように間違う可能性が高いです。

3、たくさん計算練習をこなす
あとは、1、2、を守りながらたくさん計算練習をこなしてください。くり返しますが、癖になったミスはすぐにはなおらないので、たくさん解いて覚えていくしかありません。

自分が間違えるポイントをはっきりさせて、たくさん練習すれば、計算ミスは少しずつ減っていくと思います。がんばってください。

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