中学生:数学

公式の覚え方

個別指導塾の学習空間 山梨エリア 富士吉田・都留教室の大江です。

早い学校では5月から定期試験が始まります。
皆さん、まずはそれに向けて頑張っていることと思います。

そんな中、よく言われるのが「数学の公式が覚えられない」というものです。
そこで、今回は公式の覚え方についてお話したいと思います。

まず、公式が覚えられない生徒に多いのが、教科書に載っているものを意味も分からずそのまま暗記しようとして、文字や符号がグチャグチャになってしまう、というケースです。

例えば、今の時期の中学3年生で言うと乗法公式です。
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
これをそのまま暗記するのは、確かに初めは至難の業かもしれません。
また、仮に覚えてもすぐに忘れてしまう可能性が高いです。

そこで、やってもらいたいのが【具体から抽象】です。
少し難しい表現ですが、簡単に言うと、いきなり公式を暗記しようとするのではなく、まずは色んな問題を解いて傾向や法則を掴むということです。

例えば、先ほど例で言うと、いきなりaとかbとか入った式を考えるのではなく、
(x+3)(x+5)を式の展開を使って解いてみます。
そうすると、x2+8x+15という答えがでるはずです。
ここででてきた数字(3、5、8、15)に着目して関係性を考えると、
xの係数(8)は(3+5)の解で、定数項(15)は(3×5)の解だと気付くかもしれません。

同じように、
(x-5)(x+8)を解くと、x2+3x-40という答えが出ます。
ここでもxの係数(3)は(-5+8)の解で、定数項(-40)は(-5×8)になっています。

そこで、どうやらxの係数は( )の中の数字を足したもので、定数項は( )の中の数字を掛けたものらしいということが掴めたら勝ちです。
その後、教科書のaとかbとかの公式を見たら、すんなり理解して覚えられるはずです。

もしも、公式の暗記が苦手な方がいましたら、まずは問題を解いて自分なりの法則を掴む作業をやってみてください。
多少面倒に思うかもしれませんが、一度理解してしまえば忘れることはないので、いきなり公式を丸暗記するよりも結果的に近道になります。

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解説をさかのぼろう!

個別指導塾の学習空間 静岡東部エリア 富士吉原・裾野教室の及川です!

皆さんは数学を解きなおす時どのように解説を読んでいますか。
多くの人は一行目から順番に追ってみているだけではないでしょうか。
計算や公式が分からない場合はそれでいいのですが、考え方や問題のつながり方が分からない時は、なんだかよく理解しないまま書き写すだけになってしまいがちです。
問題をもっとはっきりと理解するために、今回は解説の逆読みについてお話ししたいと思います。
解説を遡って読んでいくことで問題を分析して、より詳しく理解していきましょう!

数学の場合、「分からない」には二種類あります。
一つ目は公式忘れや計算間違い。
これは公式を覚える、計算練習をするなどの方法でミスを少なくすることが出来ます。
特に変形の方法が分からない時は上から順に読んでいくのが効果的ですね。

二つ目は問題のつながり方です。
なぜこの公式を使っているのか、どこからこの数値が出てきたのか、問題の構造が分からない場合には、上から読む方法ではなかなか理解できずに終わってしまいます。

そのような時は、問題の解説を下から逆に読んでいきましょう!

まず答えを確認します。
この答えを出すのに何をしているのかを見てみましょう。例えば三角形の面積問題だったら「底辺×高さ÷2」ですね!
問題文から底辺はわかっているけど、高さが分からない!なんて時はさらに上の段を見てみましょう。高さを求める式があるはずです。必要なものが足りなければ更にその上に移りましょう。
下で使われている数字がどこで現れたものなのか、落ち着いて探していくことで「なぜ」この式を使うのか、「なぜ」この順番でないとだめなのか、分からなかったことが見えてくるはずです。
もしそれでもわからないことがあったら近くの先生たちに聞いてみてください!
皆さんが自分で疑問を解決する力を付けてくれるよう全力で応援しますよ!!”

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途中式って?

“個別指導の学習空間 群馬エリア 伊勢崎西・前橋総社教室の遠藤です。

みなさんは計算をするときは暗算でやって答えを出しますか?
それともしっかり計算を書いてから答えを出しますか?

僕は結構、計算過程を書いてから答えを出します。簡単なものは暗算でやっちゃいますけど(笑)

もちろん暗算でやって計算が早くできる子は素晴らしいです!ですがちょっと待ってください、複雑なものまで書かずにやろうとしていませんか?
なので、今日は途中式の大切さについてお話します。

例えばこんな問題・・・
45÷(-3)-(-8)×8÷4×(-2)
この問題って結構複雑ですよね・・・僕も暗算で答えて下さいって言われれば間違えてしまうかもしれません・・・

しかし1つずつ順序を踏んで途中式を書いていけば解けると思います。
これだけ?って思うかもしれませんがここからが大事です。

この問題で間違えた時ってどうしますか?自分には何が足らなかったのでしょうか?四則計算の順序?それとも正負の数の扱い方?それとも単なるケアレスミス?・・・
もし、途中式を書いていなかったら何がわかっていないのかわからないですよね!これって復習する時に困ってしまいます。

つまり!
途中式を書くということは丁寧に問題を解くだけでなく自分の苦手を示してくれる式なのです!わからない所がわかればそこの問題を重点的に復習すればできるようになります。

さて、簡単に途中式に大切さを書きましたがわかってもらえましたか?

わかっているところまで復習しないといけないのは時間がもったいないです。しっかりと途中式を書いて自分のわからない所をピンポイントに学習しましょう!!

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変数の式

個別指導の学習空間 群馬エリア 伊勢崎西・前橋総社教室の遠藤です。

今日は変数について話そうと思います。
変数ってなんだっけ?と思う子もいると思いますが、xとかyとかが変数になります。

このxとかyが急に出てきて数学が難しくなったな~って感じる子も多いと思います。ですがそんなに難しい話ではありません!分かっちゃえばこっちのもの、今日はそのコツを少し伝授します!!

そもそもxとかyが出てきたのは規則のある式を全部書きたくないってところから始まっています。
それでは少し考えてみましょう。

例えば、
3+4 4+4 5+4 ・・・など
これって+4の前のものが変わっているだけですよね!このときにある数に+4すると出てくる式を全部書いてくださいと言われたら一体いくつ書けばいいのでしょうか?

これは、本当にたくさんの式を書かないといけませんね・・・
そうなんです、本当に数え切れないほど書かないといけないんですよね。大変です。どうしましょう。
そんなときの為にxやyが登場しました。ルールとしてはxには決められた数ならどんなものでも入れていいよというものです。
なので、今回の式は・・・x+4と書くことができます。

このxにいろんな数字を入れることで表したい式を一発で出すことができます!
いや~、最初はいっぱい書かないといけないと思っていた式も1つで表すことができましたね。

このように規則のある式は変数を使って表すことがどれだけ楽なことかわかりましたね。

また変数が使われている式の問題には何か規則があるということもあるんです!
具体的な数字を入れてみると見えてくるものもあります。

今回の話で少し変数について分かってもらえるとうれしいです!

変数が出てきたからといって怖がらずいろんな数字を入れてみていろんな問題に挑戦してみてください!!

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数学はこれだけでいい!!!

個別指導塾の学習空間 兵庫エリア 加古川野口・明石魚住教室の小又です。

みなさん数学にはどんな印象をもっていますか?
もちろん数学が得意な人もいれば、苦手な人もいますよね。
数学で上手く点数がとれない人は、何が原因なのでしょうか?

数学は基本的には答えが1つしかありません。そして、その答えにたどり着くまでの方法がいくつかあります。つまり、答えを出すための方法さえ理解できれば答えを導き出せます。しかし、数学の難しい所は、問題を解く方法が理解できていたとしても、計算力がなければ正確な答えを導き出すことが出来ません。

以上より数学の点数を上手くとる為には、
① 計算力をつける。(四則演算、因数分解など…)
② 問題を解く方法を理解する。
が必要不可欠であることが分かりますね!
逆に言えばこの2つだけを習得すれば点数がとれるということです!!!
それではこの2つ習得方法について説明します。

①計算力をつける。
ズバリ!!!
練習あるのみです…
小学生の場合はまず筆算で正確な答えを導き出せるように練習しましょう。次に暗算で解けるようします。最後に、百マス計算などを使って瞬時に答えを出せるように日々練習しましょう。
中学生・高校生の場合は方程式の基礎的な計算から小数点や分数が入ったようなものまで解けるように練習です。その後に連立方程式や因数分解を練習しましょう。
全学年に言えるのは必ず継続して行うことです。最低週に3回は練習しましょう。

②問題を解く方法を理解する。
これを習得するために必要なことは全学年共通です。
まずは、教科書にある例題を答えを見ながら解いていきましょう。次に同じ例題を答えを見ずに解きましょう。答えを一度も見ずに解くことができたら練習問題に行きます。練習問題を解くことが出来たら、後は答えを覚えてしまうぐらい繰り返しましょう!目標は最低3周です!
一番やってはいけないことは、問題が解けていないのに次の問題に行ってしまうことです。
前問が解けていないのに次の問題が解けることはほぼありません。ゲームでも最初のボスを倒さないと次のボスは倒せませんよね?それと一緒です!
問題はどんどん難しくなってきます。四則演算や因数分解などのスキルを覚えて使いこなせるようになってから次の問題に行くようにしましょう!

以上の2点を完璧にマスターし数学の苦手な人が少しでも減っていけば幸いです。。。

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数学に対する考え方

個別指導の学習空間 多摩南エリア 八王子四谷・西八王子教室の柏瀬です。

数学は他の科目と比べて簡単でしょうか? 難しいでしょうか?

正答がただ一つに決まる数学は比較的簡単と言えるかもしれません。
では正答を出すまでのプロセスはどうでしょうか?
中学で多くありませんが、高校数学ともなれば、多角的な視点で解き明かしていくことができます。ときには、分野を超えたアプローチもします。
つまり、正答を導くプロセスはただ一つではないということです。

例えば、一次関数のグラフを書く問題があります。
かたや、傾き・切片を求めて書いた
かたや、通る二点を求めて書いた
プロセスは違えど、どちらも大正解です。どっちの解答のほうがいいという優劣はありません。

数学は堅苦しく頑固なイメージがあるかもしれませんが、基本的なルールさえ守れば結構自由なんです。
数学の勉強の中に、そういった自由さを少しでも感じてもらえれば、うれしく思います。
八王子四谷・西八王子教室の柏瀬です。

数学は他の科目と比べて簡単でしょうか? 難しいでしょうか?

正答がただ一つに決まる数学は比較的簡単と言えるかもしれません。
では正答を出すまでのプロセスはどうでしょうか?
中学で多くありませんが、高校数学ともなれば、多角的な視点で解き明かしていくことができます。ときには、分野を超えたアプローチもします。
つまり、正答を導くプロセスはただ一つではないということです。

例えば、一次関数のグラフを書く問題があります。
かたや、傾き・切片を求めて書いた
かたや、通る二点を求めて書いた
プロセスは違えど、どちらも大正解です。どっちの解答のほうがいいという優劣はありません。

数学は堅苦しく頑固なイメージがあるかもしれませんが、基本的なルールさえ守れば結構自由なんです。
数学の勉強の中に、そういった自由さを少しでも感じてもらえれば、うれしく思います。

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文字式の文章題

個別指導塾の学習空間 埼玉西部エリア 桶川東・本庄南教室の森井です。

中学校に入っての数学で嫌なところは、文字式という子は多いと思います。
特に、文章を式にするとなると…「a円の商品とb円の商品をそれぞれ10%引きで買った金額」…もはや何をどうすればいいのかわからなくなってしまうのではないでしょうか。
そんな文字式もまずはわかりやすい数字を入れて考えるとわかりやすいのではないかと思います。
上の例に数字を入れて考えると…「100円の商品と200円の商品をそれぞれ10%引きで買った金額」…100円の10%引きと200円の10%引き―100×0.9+200×0.9。。。ここで答えを出すのではなく、数字を元の文字に直すと―a×0.9+b×0.9=0.9a+0.9bほら出来ました。

もちろん、何%引きとか増しとかの計算法は知っていないとできないかもしれませんが、考えやすい数字であらかじめ式を作ってみると案外簡単に作れてしまう問題は多いんです。
何%引きや何%増しというのも普段生活している中でたくさんあふれていることだと思います。
「10%増量」、「30%オフ(引き)」などなど意識すると勉強とは直接関係なさそうなことでも意識すると視界が一気に開けることもあるかと思います。

文字式の文章題ができるようになると方程式の文章題もまずは式を立てることが出来るようになって、白紙で出すようなことも減るのではないかと思います。
練習も必要ですが、まずはわかりやすい数字を入れて式を作ってみる、です。

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中学3年分の数学の復習方法

個別指導塾の学習空間 静岡東部エリア 御殿場・裾野教室の宮川です。

中学校の数学のカリキュラムは非常によくできています。一年を通して、大体の流れが毎年同じに作られています(1年の正負の数や3年の平方根など新しい数の種類を間に挟むことはありますが)。具体的には、『文字式→方程式→関数→図形や立体→資料の整理や確率など』です。
では、学期別にみてみましょう。
各学年の1学期に文字式を勉強します(1年生の最初は正負の数ですが)。1年で文字式のルール、2年で文字式の単項式と多項式の乗除計算、三年生で乗法公式、因数分解を学びます。
1学期から2学期の半ばにかけて、1年では1次方程式、2年では連立方程式、3年では(間に平方根を挟みますが、)2次方程式です。
次に習うのが、1年では、比例反比例、2年では1次関数、3年では2次関数です。そして2学期から3学期あたまで、1年では空間図形や扇形の体積。2年では角度や合同。3年では、相似と三平方の定理、円などを勉強します。
最後に3学期の半ばから1年では、資料の活用、2年は確率、3年は標本調査(受験に間に合わないのでやらない学校もあります)。
このように、大体一年を通して、同じ時期にちかい内容を毎年行っているのです。
これが勉強する際にどんな役に立つのか?新しい単元を勉強する前に一度前学年の勉強をしてみると新しい単元の理解が一段と深まるかもしれません。3年の2次方程式を勉強するまえに、1年の1次方程式や2年の連立方程式。2年の1次関数を勉強する前に、1年の比例反比例でxとyの使い方や式のつくり方を学んでから1次関数を勉強する、など。
中学3年生は特に、受験対策として全学年分の数学を勉強しなければならないので、横(年ごと)ではなく、縦(関連した単元ごと)に復習をしてみると学習しやすいかもしれません。

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「振り返り学習」の重要性

個別指導の学習空間 兵庫エリア 姫路灘教室・飾磨西教室の谷口です。
今回は、振り返ることの重要性について書いていこうと思います(最近習ったものの復習とは違います)。

これは、特に2年生以降の数学に適用できるかと思います。そのため、2年生の数学を例に話を進めていきます。

2年生での難単元としてよく挙げられるのが
「連立方程式(文章題)」「一次関数(文章題)」「合同の証明」です。
合同の証明については解き方そのものを習うのがその単元に入ってからなので省きます。
連立方程式と一次関数については答えを導くための計算は2年生になってから習うものの、
答えの核となる式の組み立てに関しては1年生で習う「文字式(数量を表す式)」を積極的に用いるのです。

計算だけならかなりの生徒が正解すると思いますが、難単元とされている理由としては「文章がややこしい」、「式が立てられない・思い浮かばない」からだと自身の経験や指導をしていて実感しました。実際に、文章題となると手が止まる生徒が本当に多いです。

そのため、ある程度の生徒がこの単元で復習ややり直しに時間を費やすことになります。
ただ、そのやり方についてですが連立方程式や一次関数の単元の初めからやり直す、というものは効果が薄いと感じます。
なぜなら、「計算の仕方は分かっている」からです。「文章がややこしい」、「式が立てられない・思い浮かばない」から解けないのに、単元の初めからやり直したとしても再び計算の仕方を再確認するだけに落ち着いてしまうだけです。

どこかの単元でつまづいた時、その単元をやり直すことによって解けるようになると考える人が多くいると思います。それが最有効の手段のものもあればそうでないものもあります。
そうでないものはどうすれば良いのか?
それは、「関係する単元をやり直すこと」です。

今回のような連立方程式や一次関数、3年で学習する「関数」の場合は1年で学習する文字式を、
また、「相似」の場合は2年で学習する平行線と角を、
といった形で単元をいくつかの部分に区切り、核となる単元を復習することによって連立方程式の文章題などが解けるようになるということが多々あります。

遠回りに感じるかもしれませんが、答えがたまたま合っただけで「分かった気になる」のではなく、
しっかりと「分かった」と自信を持って言えるようになるためには、
なぜそのような式を組み立てられたのかを説明できなくてはなりません。

この段階までたどり着くと、初めて見るような問題に手も足もでないというようなことは無くなるはずです。

何かの単元でつまづいてしまった時はこの手法を実践してみてはいかがでしょうか・・・?

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数学の途中式・直しの書き方

個別指導の学習空間 埼玉西部エリア 坂戸西・北本教室の清水です。
今回の内容も数学です。

この時期新しくお問い合わせしていただき、体験中の生徒の中で「数学が苦手」という生徒の勉強の進め方について、すこしお話ししたいと思います。

数学が苦手な生徒の特徴として、
①途中式を書かない
②間違え直しで答えしか書かず、解き直しをしない
③間違えた問題を消してしまう

この2点が挙げられます。

①は特に重要です。
計算問題、図形、関数、証明等、どの問題にも必要です。
計算で言えば、符号を変えたり、同じ文字をまとめたり
図形、関数では公式に当てはめて計算したりとどの場面でも出てきます。

よく「途中式の書き方がわからない」という言葉を聞きますが、
簡単にいうと「頭の中で行なっている計算式を書く」だけです。
正負の計算で符号ミスが多かった生徒は
頭の中で符号を変えて、同じ符号どうしを計算して答えを出していました。
そのためどこかで符号ミスを、計算ミスをしてしまい、答えが間違えていました。

(頭の中)で行なっていたことを(書いて確認)する。
これだけで途中式の書き方がわからない、といったことはなくなります。
数学が好きで一応得意科目にしている私でも、どんな計算式でも途中式は書きます。

このことに注意して、皆さんも進めて見てください!!

②は③と合わせてお話しします。
私の教室では許していません笑
どこでどのようなミスをして間違えたのかを自分自身で分析して次に活かすのが勉強です。
符号ミスだったのか、計算を間違えていたのか、そもそも使っていた公式が間違えていたのか等々

そのため、間違えた問題には×だけをつけて、解説を見ながら間違え直しというやり方が大切になります。どこで間違えたのかを探すためにも、間違えがある途中式を消してしまうのもよくありません。

途中式を書く、間違え直しをする
と聞いてしまうとどうしても「めんどくさい」と感じてしまいがちですが、やったあとに「めんどくさかったな」と思うことはないと思います。むしろ達成感の方が大きいですよ!!
ぜひ皆さんの勉強に役立ててください!!

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