必要条件?十分条件?

個別指導の学習空間 神奈川エリア 大井松田教室・平塚中原教室の青山です。

今回は数学の中で、命題・集合の部分の中に含まれる、必要条件・十分条件の見分け方についてお話します。
この分野は、少し文章が多いというか、計算が好き!図形が好き!など、普段数学が好きだ!と思っている生徒も、苦戦しているのをよく見かけます。計算のようにただやり込むだけではなかなか難しいですし、図形のようにイメージで何とかはしにくいものです。
センター試験にも出題されたりするので、ぜひ押さえてもらいたいポイントの一つなので、参考にしていただければと思います。

具体的にはまず、言葉として覚えていてもらいたいものが、以下の内容になります。

仮定1  p ならば q が成り立つとき
① q は p であるための必要条件
② p は q であるための十分条件

仮定2  q ならば p も成り立つときは、pとqは互いに必要十分条件

以上の内容は基本事項なので、まず何度も唱えて、あるいは書いて覚えておきましょう。

実際に問題を解く際に、慣れるまでは、頭で考えるのはやめて、書くようにしましょう。具体的な書き方を説明します。

例) x2(xの2乗) = 4 は x = 2であるための○○○条件である。
上のような問題があるとします。
問題を解き始める前に、

このときに、まず問題文の順番通りにpをことがら{x24}、qにはことがら{x2}ということにします。そして仮定1:「   p   ならば   q   が成り立つ」と「x24」、「x2」をそれぞれ『上下にそろえて』書いてみましょう。

 

仮定1  p   ならば   q   が成り立つ

X2 = 4        x= 2

 

さて、これが正しいかどうか判定します。

ちなみに数学で「正しい」というのは一つの例外もなく正しいときにのみ「正しい」と言えます。

 

ですので、正しいかどうかの判定は例外がないかどうか探す、いわゆる「成り立たない場合を

探す」作業となります。

 

では、上の仮定1を見てみましょう。

x2 = 4 ならば x = 2  が成り立つ

これは一見正しそうに見えますが、正しくありませんね。 なぜならx =-2の時も、成り立っ

てしまうからです。(反例発見!)

 

問題の言い方を変えると、x2乗が4のとき、「必ず」x2になるか?と聞かれているのです。

従って、(仮定1は正しくはないので)次には進めません。

 

今度は逆にしてみましょう。つまり、pとqの「ことがら」を入れ替えてみましょう。

p     ならば    q    が成り立つ

x = 2         x2 = 4

xが2だったら、xの2乗は必ず4になるか?
これは成り立ちます。(いつでも正しいと言えますね)

これは仮定1が成り立つので、次に進みます。
次に考えることは、①、②の判定です。

 

このとき考えることは、あなたは「何に」ついて聞かれているのか?ということです。

当たり前ですが、日本語で「~は」・・・ですか?と聞かれたら、当然「~は」の部分について質問されていますよね?

ですので、

p     ならば    q    が成り立つときに

x = 2         x2 = 4
「qは」pであるための・・・・・条件ですか?と聞かれていますので①に当たりますよね。

よって解答は「必要条件」となります。

 

また、仮定1のみしか成り立ちませんでしたので、この問題では仮定2は却下です。
かなり長くなってしまいましたが、この手順をしっかり覚えてしまえば、それを実際に書いてみて、pの部分やqの部分に入るものを探していくことで解く事ができます。

文章で読んでいるとわかりにくいかもしれませんが、実際にこの手順をやっていただけるとわかりやすくなると思います。

まずは数学も書いてみる事!これはこの分野に限らずです。少しでも参考になれば、幸いです。
それでは☆

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